lunes, 14 de julio de 2014

III y ultimo parcial vamos compañeros pilas

 un poco de teoria 


 

Logaritmo


En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

martes, 8 de julio de 2014

ejercicios con ecuaciones radicales

Compañeros resolvamos los ejercicios con radical como practica para el domingo


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Ecuaciones Con Radicales

Resolviendo Ecuaciones Radicales
 
Objetivo de Aprendizaje
·         Resolver ecuaciones algebraicas con términos radicales.
 
Introducción
 
Cuando una expresión radical aparece en una ecuación, la llamamos ecuación radical. Resolver ecuaciones radicales requiere la aplicación de las reglas de los exponentes y algunos principios algebraicos básicos. En algunos casos, se debe tener cuidado con errores causados por elevar cantidades desconocidas a una potencia par.
 
Elevando al Cuadrado Ambos Lados
 
Una estrategia básica para resolver ecuaciones radicales es despejar primero el término radical, y luego usar la operación inversa (elevar el término radical a una potencia) para sacar la variable. Este es el mismo tipo de estrategia que usamos para resolver otras ecuaciones no radicales: manipulamos la expresión para despejar la variable que queremos conocer, y luego resolvemos la ecuación resultante.
 
Empecemos con una ecuación radical que podamos resolver en pocos pasos: .
 
Ejemplo
Problema
 
 
 
 
Sumar 3 a ambos lados para despejar el término variable
 
 
Combinar términos semejantes
 
Elevar al cuadrado ambos lados para eliminar el radical
Solución
x = 64
 
Simplificar
 
 
Para comprobar nuestra solución, podemos sustituir x por 64 en la ecuación original. ¿Obtenemos  ? Sí — la raíz cuadrada de 64 es 8, y 8  3 = 5.
 
Nota cómo en este problema combinamos términos comunes y luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. Este es un método estándar para remover el radical de la ecuación. Es importante despejar un radical a un lado de la ecuación y simplificar lo más posible antes de elevar a una potencia. Entre más términos haya antes de elevar, más términos adicionales serán generados, y se puede volver complicado.
 
Otra advertencia: Ten cuidado de no elevar a una potencia únicamente los términos en la ecuación. Este método sólo funciona si elevamos ambos lados de la ecuación.
 
Aún cuando seguimos las reglas, no siempre es pan comido. Intentemos otro problema para demostrar los peligros de elevar al cuadrado ambos lados del radical:
 
Ejemplo
Problema
 
 
 
Elevar al cuadrado ambos lados para sacar el término a – 5 del radical
 
a  5 = 4
Simplificar la ecuación
 
a  5 + 5 = 4 + 5
Sumar 5 a ambos lados para aislar la variable
Solución
a = 9
Combinar términos semejantes
 
Obtenemos un valor de 9 para a. Pero observa qué pasa si sustituimos a por 9 en la ecuación original:
 
 
 
 
Esto no es correcto — la raíz cuadrada de 4 es 2, no -2. Nuestra respuesta de a = 9 no funciona. ¿Qué pasó?
 
Veamos de nuevo el problema original: . Nota que el radical es igual a -2, y recuerda que la raíz cuadrada de un número sólo puede ser positiva. ¡Esto significa que ningún valor de a resultará en una expresión radical cuya raíz cuadrada es -2! Pudimos haber notado esto desde el principio y concluido que no existen soluciones para a. Pero, ¿por qué el método de elevar al cuadrado funcionó en el primer ejemplo y no en el segundo?
 
La respuesta se encuentra en el proceso mismo de elevar al cuadrado. Cuando elevamos un número a una potencia par — ya sea cuadrada, cuarta, o 50va — podemos introducir la solución falsa porque el resultado de una potencia par es siempre un número positivo. Piénsalo: 32 y (-3)2 ambos son 9, y 24 y (-2)4 ambos son 16. Entonces cuando elevamos al cuadrado -2 y obtuvimos 4 en este problema, convertimos la cantidad a positivo artificialmente. Es por eso que fuimos capaces de encontrar el valor de a — ¡resolvimos el problema como si nos hubieran dado a resolver ! Huy.
 
Maritza está resolviendo la siguiente ecuación radical: .
 
¿Cuál de los siguientes pasos debería Maritza hacer primero?
 
A) Multiplicar ambos lados por h.
 
B) Elevar al cuadrado ambos lados.
 
C) Dividir ambos lados entre 
 
D) Restar  de ambos lados
 

 
 
Raíces Además de las Cuadradas
 
La técnica de eliminar un radicar elevando a una potencia ambos lados de la ecuación también puede ser usada con otras raíces además de las cuadradas. Considera la ecuación .
 
A primera vista, esta ecuación podría parecer imposible de resolver ya que el radical está igualado a -3. ¡No queremos cometer el mismo error de nuevo! Pero espera — esta vez el radical no es una raíz par — es una raíz impar, 3. Esto significa que la expresión radical puede ser igual a un número negativo ya que los radicales con raíces impares pueden tener valores negativos como raíces.
 
Ejemplo
Problema
 
 
 
Elevar al cubo ambos lados para eliminar el radical
 
-27 = b - 2
Simplificar la ecuación. Nota que elevar al cuadrado preserva el signo negativo de 27
 
-27 + 2 = b – 2 + 2
Sumar 2 a ambos lados para despejar la variable
 
Solución
-25 = b
 
Combinar términos semejantes
 
 
Al igual que todas las soluciones que obtenemos cuando resolvemos ecuaciones radicales, debemos sustituir b por -25 en nuestra ecuación original para asegurarnos de que la solución es correcta.
 
 
 
 
-3 = -3
 

miércoles, 2 de julio de 2014

Valor Absoluto

Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una ecuación con valor absoluto.
  • Analizar soluciones a las ecuaciones con valor absoluto.
  • Graficar funciones con valor absoluto.
  • Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones con valor absoluto.

Introducción

El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica. Existen siempre dos números en la recta numérica que están a la misma distancia desde cero. Por ejemplo, los números 4 y -4 están ambos a una distancia de 4 unidades a partir de cero.
 \mid 4 \mid representa la distancia desde 4 a cero la cual es igual a 4.
 \mid -4 \mid  representa la distancia desde -4 a cero la cual es igual a 4.
De hecho, para cualquier número real x,
 \mid x \mid =x  Si x no es negativa (eso es, incluyendo x = 0.)
 \mid x \mid = -x Si x es negativa.
El valor absoluto no tiene efecto en un número positivo pero cambia un número negativo en su inverso positivo.
Ejemplo 1
Evaluar los siguientes valores absolutos.
a)  \mid 25 \mid
b)  \mid -120 \mid
c)  \mid -3 \mid
d)  \mid 55 \mid
e)  \mid -\frac{5}{4} \mid
Solución:
a)  \mid 25 \mid \ =25 Ya que 25 es un número positivo, el valor absoluto no lo cambia.
b)  \mid -120 \mid \ =120 Ya que -120 es un número negativo, el valor absoluto lo hace positivo.
c)  \mid -3 \mid \ =3 Ya que -3 es un número negativo, el valor absoluto lo hace positivo.
d)  \mid 55 \mid \ =55 Ya que 55 es un número positivo, el valor absoluto no lo cambia.
e)  \mid -\frac{5}{4} \mid \ =\frac{5}{4} Ya que es un número negativo, el valor absoluto lo hace positivo.
El valor absoluto es muy útil para encontrar la distancia entre dos punto en la recta numérica. La distancia entre dos puntos a y b en la recta numérica es  \mid a-b \mid o \mid b-a\mid.
Por ejemplo, la distancia desde 3 a -1 en la recta numérica \mid 3 - (-1) \mid = \mid 4 \mid =4.
Podríamos también haber encontrado la distancia sustrayendo en orden inverso,  \mid -1-3 \mid = \mid -4 \mid =4.
Esto tiene sentido porque la distancia es la misma si partes de 3 a -1 o desde -1 a 3.
Ejemplo 2
Encontrar la distancia entre los siguientes puntos en la recta numérica.
a) 6 y 15
b) -5 y 8
c) -3 y -12
Soluciones
La distancia es el valor absoluto de la diferencia entre los dos puntos.
a) Distancia = \mid 6 -15 \mid = \mid -9 \mid = 9
b) Distancia = \mid -5 - 8 \mid = \mid -13\mid = 13
c) Distancia = \mid -3 - (-12) \mid = \mid 9 \mid = 9
Recuerda: Cuando calculamos el cambio en x y el cambio en y como parte del cálculo de la pendiente, Estos valores fueron positivos o negativos, dependiendo de la dirección del movimiento. En esta discusión, “distancia” significa únicamente  una distancia positiva.

Resolver una Ecuación con Valor Absoluto

Ahora queremos resolver ecuaciones que involucran valores absolutos. Considera la siguiente ecuación.
 \mid x \mid =8
Esto significa que la distancia desde el número x a cero es 8. Existen dos números posibles que satisfacen esta condición 8 y -8.
Cuando resolvemos ecuaciones con valor absoluto siempre considera dos posibilidades.
  1. La expresión dentro del símbolo del valor absoluto no es negativa.
  2. La expresión dentro del símbolo de valor absoluto es negativa.
Entonces resolvemos cada ecuación separadamente.
Ejemplo 3
Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
a)  \mid 3 \mid =3
b)  \mid 10 \mid = 10
Solución
a) Existen dos posibilidades x=3 y x=-3.
b) Existen dos posibilidades x=10  y x=-10.

Analizar las Soluciones para Ecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 4
Resolver la ecuación e interpretar las respuestas.
Solución
Consideramos dos posibilidades. La expresión dentro del símbolo de valor absoluto es o no negativa. Luego resolvemos cada ecuación separadamente.
x-4=5 & & & & x-4=-5\\x=9 & & \text{y} & & x=-1
Respuesta  x=9 y  x=-1.
Ecuación  \mid x -4 \mid =5 puede ser interpretada como “que números en la recta numérica están 5 unidades alejados del número 4?” Si dibujamos la recta numérica observamos que hay dos posibilidades 9 y -1.
Ejemplo 5
Resolver la ecuación  \mid x +3 \mid =2  e interpretar la respuesta.
Solución
Resolver las dos ecuaciones.
x + 3 & = 2 & & & & x + 3 = -2\\x & = -1 & & \text{y} & & \qquad x=5
Respuesta  x=-5 y  x=-1.
La ecuación  \mid x +3 \mid =2 puede reescribirse como  \mid x - (-3)\mid =2 . Podemos interpretar esto como “qué números en la recta numérica están 2 unidades alejados de -3?” Existen dos posibilidades -5 y -1.
Ejemplo 6
Resolver la ecuación  \mid 2x-7 \mid =6 e interpretar las respuestas.
Solución
Resolver las dos ecuaciones.
2x -7 & = -6  & & & & 2x -7 = 6\\2x & = 13 & & \text{y} & & \qquad 2x = 1\\x & = \frac{13} {2} & & & & \qquad \ \ x = \frac{1} {2}
Respuesta  x=\frac{13} {2} y  x=\frac{1} {2}
La interpretación de este problema es clara si la ecuación  \mid 2x-7 \mid =6  fue dividida por 2 en ambos lados. Obtenemos  \mid x -\frac{7}{2}\mid =3 . La pregunta es “Qué números en la recta numérica están 3 unidades alejados de  \frac{7}{2}?” Existen dos posibilidades  \frac{13}{2} y  \frac{1}{2}.

Graficar Funciones con Valor Absoluto

Tú aprenderás ahora como graficar funciones con valor absoluto. Considera la función:
y=\mid x -1 \mid
Vamos a graficar esta función haciendo una tabla de valores.
xy=\mid x -1\mid
-2y=\mid -2-1\mid = \mid -3 \mid =3
-1y=\mid -1-1\mid = \mid -2 \mid =2
0y=\mid 0-1\mid = \mid -1 \mid =1
1y=\mid 1-1\mid = \mid 0 \mid =0
2y=\mid 2-1\mid = \mid 1 \mid =1
3y=\mid 3-1\mid = \mid 2 \mid =2
4y=\mid 4-1\mid = \mid 3 \mid =3
Tú puedes ver que el gráfico de una función con valor absoluto tiene la forma de una gran “V”. Consiste en dos rayos de líneas (o segmentos de lineas), uno con pendiente positiva y uno con pendiente negativa unidos por el vértice ocúspide.
Observamos en secciones previas que para resolver una ecuación con valor absoluto necesitamos considerar dos opciones.
  1. La expresión dentro del valor absoluto no es negativa.
  2. La expresión dentro del valor absoluto es negativa.
El gráfico de y= \mid x -1\mid es una combinación de dos gráficos.
Opción 1
y=x-1
Cuando x-1 \geq 0
Opción 2
y=-(x-1) o y=-x+1
Cuando  x-1 <0
Ambos son gráficos de líneas rectas.
Las dos líneas rectas se encuentran en el vértice. Encontramos el vértice estableciendo la expresión dentro del valor absoluto igual a cero.
x-1=0 o x=1
Siempre podemos graficar una función con valor absoluto usando una tabla de valores. Sin embargo usamos gneralmente un procedimiento simple.
Paso 1 Encontrar el vértice del gráfico estableciendo la expresión dentro del valor absoluto igual a cero y resolver para x.
Step 2 Hacer una tabla de valores que incluyan el vértice, un valor más pequeño que el vértice y un valor más grande que el vértice. Calcular los valores de y usando la ecuación de la función.
Paso 3 Dibujar los puntos y conectarlos con dos líneas rectas que se encuentren en el vértice.
Ejemplo 7
Graficar la función con valor absoluto: y=\mid x+5\mid .
Solución
Paso 1 Encontrar el vértice x+5=0 o x=-5.
Step 2 Hacer una tabla de valores.
xy=\mid x+5\mid
-8y=\mid -8+5 \mid = \mid -3 \mid =3
-5y=\mid -5+5 \mid =\mid 0 \mid =0
-2y= \mid -2+5\mid = \mid 3 \mid =3
Paso 3 Colocar los puntos y Dibujar dos líneas rectas que se encuentren en el vértice.
Ejemplo 8
Graficar la función con valor absoluto y=\mid 3x -12 \mid.
Solución
Paso 1 Encontrar el vértice 3x- 12 = 0 entonces x=4 es el vértice.
Paso 2 Elaborar una tabla de valores:
xy=\mid 3x-12\mid
0y=\mid 3(0)-12 \mid = \mid -12\mid =12
4y=\mid 3(4)-12\mid = \mid 0 \mid =0
8y=\mid 3(8)-12 \mid = \mid 12 \mid =12
Paso 3 Dibujar los puntos y dibujar dos líneas rectas que se encuentren en el vértice.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Ecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 9
Una compañia empaqueta granos de cafe en bolsas herméticas. Cada bolsa debería pesar 16 onzas pero es difícil llenar cada bolsa con el peso exacto. Después de ser llenadas, cada bolsa es pesada y si hay más de 0.25 onzas de sobrepeso o de peso inferior, es vaciada y vuelta a empacar. Cuáles son las bolsas más ligeras o pesadas aceptables?
Solución
Paso 1
Sabemos que cada bolsa debería pesar 16 onzas.
Una bolsa puede pesar 0.25 onzas más o menos que 16 onzas.
Necesitamos encontrar las bolsas con peso más liviano y aceptable y las más pesadas que son aceptables.
Dejar x = peso de la bolsa de café en onzas.
Paso 2
La ecuación que describe este problema se escribe \mid x -16 \mid 0.25 .
Paso 3
Considerar las opciones positivas y negativas y resolver cada ecuación separadamente.
x-16&=0.25 & & & & x-16 =-0.25\\& & \text{y} & & \\x&=16.25 & & & & \qquad \ x=15.75
Respuesta La bolsa más liviana aceptable pesa 15.75 onzas y la más pesada 16.25 onzas.
Paso 4
Observamos que 16.25 - 16 = 0.25 onzas y 16 - 15.75 = 0.25 onzas. Las respuestas son 0.25 onzas más grande y 16 onzas menos.
La respuesta es correcta.

Resumen de la Lección

  • El valor absoluto de un número es su distancia a partir de cero en la recta numérica.
\mid x \mid =x  si x no es negativo.
\mid x \mid =-x  si x es negativo.
  • Una ecuación con valor absoluto en ella se separa en dos ecuaciones.
  1. La expresión dentro del valor absoluto es positiva, entonces los símbolos del valor absoluto no hacen nada y pueden ser omitidos.
  2. La expresión dentro del valor absoluto es negativa, entonces los símbolos del valor absoluto deben ser negados antes de remover signos.

Ejercicios de Repaso

Evaluar los Valores Absolutos.
  1.  \mid 250 \mid
  2.  \mid -12 \mid
  3.  \mid -\frac{2}{5} \mid
  4.  \mid \frac{1}{10} \mid
Encontrar la distancia entre los puntos.
  1. 12 y -11
  2. 5 y 22
  3. -9 y -18
  4. -2 and 3
Resolver las ecuaciones con valor absoluto e interpretar los resultados graficando las soluciones en la recta numérica.
  1.  \mid x -5 \mid =10
  2.  \mid x +2 \mid =6
  3.  \mid 5x-2 \mid =3
  4.  \mid 4x-1 \mid =19
Graficar las funciones con valor absoluto.
  1.  y =\mid x +3 \mid
  2.  y = \mid x -6 \mid
  3.  y = \mid 4x+2 \mid
  4.  y = \mid \frac{x}{3}-4\mid
  5. Una compañía manufactura reglas. Sus reglas de 12- pulgadas pasan controles de calidad si están dentro de la longitud ideal \frac{1}{32} pulgadas. Cuál es la regla mas larga y la más corta que puede salir de la fábrica?

Respuestas

  1. 250
  2. 12
  3.  \frac{2}{5}
  4. \frac{1}{10}
  5. 23
  6. 17
  7. 9
  8. 5
  9. 15 y -5 
  10. 4 y -8 
  11. 1 y -\frac{1}{5} 
  12. 5 y -\frac{9}{2}