miércoles, 2 de julio de 2014
lunes, 30 de junio de 2014
Frases Celebres
me despido en esta bella noche con dos frases
Nuestro limite deve ser el cielo
la unica persona que puede impedir lo que DIOS quiere para ty eres tu mismo .
recuerda tu mejor amigo " EL ESTUDIO" y tu peor enemigo "la ignorancia "
Ejercicios Ecuaciones Cuadraticas
Compañeros como se dio a conocer hoy terminamos con las funciones
cuadraticas acontinuacion dejo una pequeña lista de ejercicios a
realizar para fortalecer lo visto en clase
3) Hallen, si es que existen, las raíces reales de las siguientes
funciones:
a) f(x) = (x-3)2 – 9 b) g(x) = 4x2
– 5x
c) h(x) = – x2 – 4 d)
j(x) = x2 + 3x + 2
e) k(x) = –4x2 + 4x – 1
4) Grafiquen las siguientes funciones. Para ello, determinen previamente
las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría
y el punto de intersección con el eje de las ordenadas (y).
p(x) = x2 - 2x - 8 q(x)
= - x2 + 6x - 9
r(x) = (2x - 1)(x + 2,5) s(x)
= -0,5(x + 1)2 – 1,5
t(x) = - x2 - x - 2
5) resolver
a) 3x – x2 + 0,1= 0 b)
x2 + 4 = 0 c) -1/9+2x – 9x2 = 0 d) 3x2 -1/2 = 0
6) Expresen en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:
f(x) = x2 + x g(x)
= - x2 + 1 h(x)
= x2 + 6 x – 27
j(x) = -2 x2 - 7 x – 3 k(x) = - x2 + 12 x –
36 p(x) = 4 x2 – 1
7) Las
siguientes funciones cuadráticas están escritas en forma canónica. Exprésenlas
en forma factorizada:
f(x) = 2(x - 1)2 – 2 g(x) = 3(x + 1)2 –
12 h(x) = - x2 + 2
j(x) = 4(x
- 2)2 – 1 k(x)
= - 5(x + 4)2 q(x)
= 9(x + 1)2 – 4
8) Escriban cada una de las
siguientes funciones cuadráticas en los otros dos tipos de expresiones:
f(x) = 6
(x - 1)(x+9) g(x)
= 5 (x - 4)2 - 125
h(x) = - 3
x2 + 8x + 3 j(x)
= -4x2
jueves, 26 de junio de 2014
Unidad II Funciones Cuadraticas
Aquí un poco de teoría sobre las funciones cuadráticas:
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Función cuadrática |
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.
 |
| Parábola del puente, una función cuadrática. |
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.
Ver: PSU: Matemática;
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría
y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, 
según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)
y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)Solucion alos Ejercicios
Soluciones a funciones lineales EJEMPLOS
1. f (x) = 5x + 13
m = la pendiente es 5
b = 13
2. f (x) = 24x
m = la pendiente es 24
la recta no cruza el eje de las y
3. f (x) = 3x + 2x +7
primero simplificamos:
f (x) = 5x +7
m = la pendiente es 5
b = 7
4. f (x) = -5x +12 -3
primero simplificamos:
f (x) = -5x +9
m = -5
b = 9
5. f (x) = 7x
m = 7
la recta no cruza el eje de las y
6. f (x) = 5x + 7 – 4
Primero simplificamos:
f (x) = 5x + 3
m = 5
b = 3
7. f (x) = 4x – 2x +3
Primero simplificamos:
f (x) = 2x +3
m = 2
b = 3
8. f (x) = x – 14
m = 1
b = -14
Espero que con estos ejemplos te haya quedado más claro el tema de funciones lineales, no olvides usar una tabla de valores para graficar tus funciones!
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Ejercicios Funciones Lineales
Bueno compañero como el día de ayer terminamos con el tema de funciones lineales aquí una pequeña lista de ejercicios para practicar y entenderle mejor al tema
Encontrar la pendiente , los intercepto y graficar:
1. f (x) = 5x + 13
Encontrar la pendiente , los intercepto y graficar:
1. f (x) = 5x + 13
2. f (x) = 24x
3. f (x) = 3x + 2x +7
4. f (x) = -5x +12 -3
5. f (x) = 7x
6. f (x) = 5x + 7 – 4
7. f (x) = 4x – 2x +3
8. f (x) = x -14
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