SEGUNDA  UNIDAD

Relaciones y Funciones

"Los matemáticos no estudian los objetos, sino las relaciones

entre los objetos; por tanto les es indiferente reemplazar

estos objetos por otros, con tal que no cambien las relaciones".

Henri Poincaré.

1.1 Coordenadas de un punto en el plano cartesiano.
Objetivos.
a) Determinar un sistema de ejes coordenados.
b) Localizar puntos en el plano cartesiano.
c) Calcular la distancia entre dos puntos del plano
d) Determinar el punto medio entre dos puntos del plano.
En el curso de Matemática Básica se estudiaron los números reales y su representación en la recta numérica, después se continuó con el álgebra en una indeterminada o variable, es decir el estudio se concretó a la primera dimensión. Ahora, en esta unidad, los temas a tratarse se referirán a la segunda dimensión: el plano. Se estudiarán las relaciones y ecuaciones en dos variables con sus gráficas en el plano. El tema de mayor relevancia serán las funciones. Palabra ésta de mucho uso en nuestro lenguaje familiar, porque siempre estamos relacionando causa y efecto. Por ejemplo, nuestras calificaciones dependen de la dedicación al estudio, nuestro peso de la cantidad de alimentos que comamos, etc.
Para poder realizar estos estudios se necesitan conocimientos previos y básicos, de manera que comenzaremos con definiciones, como sistema de ejes coordenados, pareja ordenada,.

Los números ordenados x, y, que componen la pareja (x,y), son llamados las coordenadas del punto P representado en el plano; se denota por P(x, y), y se lee "el punto P de coordenadas x, y". Además, al valor de x, primera componente de la pareja, se le llama la abscisa de P, y al valor de y, segunda componente de la pareja, se le llama la ordenada de P.
Además, toda pareja ordenada de números reales representa un punto en el plano, y todo punto del plano se nombra o denota por medio de una pareja ordenada de números reales o coorde-nadas del punto. Hay una correspondencia uno a uno entre parejas y puntos del plano.

1.2 RELACIONES.
Objetivos
a) Definir una relación.
b) Determinar el dominio y rango o contradominio de una relación.
c) Calcular la relación inversa de una relación dada.
En nuestra vida cotidiana son frecuentes las relaciones de todo tipo: "madre-hijo", "profesor-alumno", "empleado-jefe", "paciente-médico", etc. En matemática, esta palabra "relación" es usada en forma semejante pero es preciso indicar el nexo entre los dos elementos como en: "a -igual- b", "x -menor que- y", "v -doble de- u" que se escribe simbólicamente por:
"a = b", "x < y" "v = 2u".
Cada una de esas "relaciones" tiene varias parejas de números que las verifican, cumplen o satisfacen la expresión, como por ejemplo:
Para a = b se tienen (3, 3), (-2, - 2), (- 2/3, - 2/3), (π,π), (0.02, 0.02), ...
Para x < y se tienen (2, 5), (- 3, 0), (2, π), (-24, - 8), (0.3, 0.31), ...
Para v = 2u se tienen (1, 2), (3, 23), (0.001, 0.002), (- 2, -1), (-π, - 2π), ...
Relación: Todo subconjunto S de ℜ5 es una relación en los números realesℜ. Dos relaciones son iguales si tienen los mismos elementos.


Dominio y Rango de una relación: Se llama dominio de una relación al conjunto de las primeras componentes de las parejas de la relación; y se llama rango o contradominio de una relación al conjunto de las segundas componentes de sus parejas.

Ejemplo 3. Halle el dominio y rango para la relación {(x, y)∈ ℜ5| y =1/x+3}
Solución: En la ecuación de la relación dada, la variable x puede sustituirse por cualquier valor real, excepto x = -3, porque se anula el denominador y no es posible dividir entre 0.
Luego, su dominio es D = { x 0 | x … - 3 }. ℜ
Para saber el rango o contradominio, hay que buscar los valores prohibidos para y, y eso se consigue despejando x en función de y, así
Si y =1/x+3 entonces x =1-3y/y− en donde y es distinto de 0, por consiguiente,
el rango es R = { y 0 ℜ | y … 0 }

En general, para determinar el dominio y el rango de una relación dada por una ecuación, se escribe la ecuación en forma explícita para cada variable y se excluyen los valores prohibidos (ceros del denominador, números negativos bajo un radical par). El dominio es un subconjunto del Eje X y el rango un subconjunto del Eje Y, o sean subconjuntos de los números reales. Dos relaciones iguales tienen el mismo dominio y el mismo rango.
Inversa de una pareja ordenada y Relación Inversa: La inversa de una pareja ordenada de números se obtiene cambiando su orden: la primera componente pasa a ser segunda componente y la segunda componente al lugar de la primera. La inversa de la pareja (x, y) es (y,x). Una relación inversa se obtiene cambiando el orden de todas sus parejas, esto es invirtiendo todos sus elementos.
Observe que dominio y rango de la relación directa se intercambian para la relación inversa.

II. Ecuación de la Recta.
Por experiencia sabemos que dos puntos determinan el segmento de recta por el que pasa una recta, y que esa recta es única. En el plano cartesiano, una ecuación con dos variables de primer grado tiene como gráfica una recta, así 2x – 5 = 3y grafica como una recta. La fórmula normal de la recta es Ax + By + C = 0, escrita en forma implícita, o bien y = mx + b en forma explícita.
A la fórmula normal Ax + By + C = 0, en las dos variables x, y, y con coeficientes numéricos A y B y constante C, corresponde como gráfica una recta en el plano cartesiano, y a toda recta del plano cartesiano le corresponde una ecuación como la fórmula escrita.
Por ejemplo, las ecuaciones 7x – 3y – 5 = 0, o x - ½y = 7/4 tienen como representación gráfica sendas rectas en el plano cartesiano.

 Para trazar una recta, lo más práctico es buscar sus puntos de intersección con los ejes X e Y.
Conocida la ecuación, los puntos de intersección se calculan dando el valor de cero a cada una de las variables, así: el punto de intersección con el
a) Eje X se obtiene cuando y = 0, y se denota por I(x1, 0) x
b) Eje Y se obtiene cuando x = 0, y se denota por I(0, y1). y
En la gráfica del ejemplo anterior, los puntos de intersección son I(5/2, 0) y I(0, - 5/3). xy
Otra fórmula normal de la ecuación de una recta es y = mx + b, escrita en forma explícita (la variable y aparece aislada). En esta forma, y = mx + b, el valor de m destaca la característica inclinación de la recta respecto al eje X orientado a la derecha, llamada pendiente de la recta, y el valor de b indica el corte en el eje Y, o sea I(0, b). y
Ambas fórmulas: Ax + By + C = 0, y = mx + b representan rectas en el plano. Y toda ecuación de una recta puede escribirse en una o en ambas formas.
Ejemplo de ecuaciones equivalentes: